Proprietà bloccante degli zeri
Scritto da: Andrea Asta in Articoli, Sistemi
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(No Ratings Yet)Sia dato un sistema dinamico lineare tempo invariante, dotato di funzione di trasferimento G(s). Trascuriamo per ipotesi il caso di presenza di stato iniziale diverso da zero, riferendoci quindi sempre a situazioni del tipo
amath Y(s) = G(s) * U(s) endamath
Dove
- Y(s) rappresenta l’uscita
- G(s) rappresenza la funzione di trasferimento
- U(s) rappresenza l’ingresso
La trattazione farà inoltre riferimento a sistemi di tipo SISO (Single - Input, Single - Output), ma è naturale ed immediato estenderla a sistemi MIMO.
Altro requisito importante per lo studio di questa proprietà è l’asintotica stabilità esterna del sistema, che viene tradotta, normalmente, nella condizione che i poli della funzione di trasferimento siano tutti a parte reale negativa.
La proprietà bloccante degli zeri afferma che modi forzanti coincidenti con zeri della funzione di trasferimento non hanno effetti sull’andamento asintotico del sistema.
Per chiarire meglio, si supponga di avere un sistema caratterizzato da:
amath G(s) = {s^2+omega_i^2}/{s+2} endamath
e che si ponga al suo ingresso un segnale sinusoidale elementare, del tipo
amath u(t) = sin(omega_u t) => U(s) = {omega_u^2}/{s^2 + omega_u^2} endamath
Distinguiamo allora due casi:
- amath w_i != w_u endamath
- amath w_i = w_u endamath
Il secondo caso è di particolare interesse, poiché avviene una semplificazione tra il denominatore della forzante e il numeratore della funzione di trasferimento:
amath Y(s) = G(s)*U(s) = {s^2+omega^2}/{s+2} * {omega^2}/{s^2 + omega^2} = {omega^2}/{s+2} endamath
E’ facile calcolare quindi l’uscita nel dominio temporale:
amath y(t) = L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}[{omega^2}/{s+2}] = omega^2 e^(-2t) endamath
L’uscita, a regime, sarà quindi nulla. Come si vede, quindi, la presenza di una forzante su un sistema di per sé asintoticamente stabile non porta ad alcuna modifica dello stesso. La forzante non ha effetti a regime.
Ancora più interessante è il caso di analisi della proprietà bloccante degli zeri nel dominio delle frequenze. In questo caso, la coppia di zeri complessi coniugati genera una risposta in ampiezza con un picco di amath -oo d B endamath in corrispondenza della pulsazione amath omega endamath.
Bode
Questa proprietà ha un’interessante conseguenza: l’utilizzo, come forzante, di un’armonica a pulsazione amath omega endamath genera un’uscita a pulsazione nulla (attenuazione totale). Infatti, si ha che
amath|G(j omega)| = -oo d B => 20 log |G(j omega)| = -oo => |G(j omega)| = 0 endamath
Pertanto, rappresentando il modulo della funzione di trasferimento il fattore di amplificazione o attenuazione dell’uscita, abbiamo un’armonica nulla in corrispondenza di tale pulsazione.
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