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Sia dato un sistema dinamico lineare stazionario e asintoticamente stabile, con la sua funzione di trasferimento amath G(s) endamath.

Supponiamo di forzare l’ingresso con un segnale sinusoidale a pulsazione specificata, del tipo

amath u(t) = X sin(omega t + phi) => U(s) = {s cos phi - omega sin phi}/{s^2 + omega^2} endamath

Dalla relazione tra funzione di trasferimento e ingresso, applicando lo sviluppo in fratti semplici, abbiamo che:

amath Y(s) = G(s) U(s) = (sum_{i=1}^n {k_i}/{s+p_i}) + {Q}/{s-j omega} + {bar(Q)}/{s + j omega} endamath

Possiamo dire, in parole semplici, che l’uscita è formata da due componenti:

• Componente amath Y_1(s) endamath, corrispondente ai modi del sistema, destinati a generare una risposta nulla a regime per ipotesi (sistema asintoticamente stabile).
• Componente amath Y_2(s) endamath, corrispondente ai modi forzanti applicati al sistema.

Determiniamo ora, sfruttando i teoremi sui residui, il valore di Q e del suo complesso coniugato.

amath Q = [(s - j omega) G(s) {s cos phi - omega sin phi}/{s^2 + omega^2} ]_{s = j omega} =

= X G(j omega) {j omega cos phi - omega sin phi}/{j omega + j omega}=

= X G(j omega) (1/2 cos phi - 1 / {2j} sin phi) = endamath

Applicando ora le relazioni di Eulero si ha

amath Q = X G(j omega) (1/2 {e^{j phi} + e^{-j phi}}/2 - 1 / {2j} {e^{j phi} - e^{-j phi}}/{2j}) =

= 1/4 X G(j omega) 2 e^{j phi} =

=1/2 X G(j omega) e^{j phi} endamath

La funzione amath G(j omega) è complessa di variabile complessa, pertanto rappresentabile nella sua forma esponenziale:

amath = G(j omega) = |G(j omega)| e^{j /_G(j omega)} endamath

Utilizzando questa notazione, riscriviamo il valore di Q.

amath Q = 1/2 X |G(j omega)| e^{j /_(G(j omega))} e^{j phi} =

= 1/2 X |G(j omega)| e^{j (phi + /_G(j omega))} endamath

Il numero Q è quindi complesso, caratterizzato da:

• Modulo: amath 1/2 X |G(j omega)| endamath
• Fase: amath phi + /_G(j omega) endamath

A questo punto è immediato, antitrasformando l’espressione dell’uscita, ricavare

amath y_2(t) = 2 |Q| cos (omega t + /_Q) =

= 2 1/2 X |G(j omega)| cos (omega t + phi + /_G(j omega)) =

= Y(omega) cos (omega t + phi(omega)) endamath

Come si nota, quindi, sull’uscita si presenta un segnale temporale di tipo periodico, che non si estingue nel tempo come le componenti asintoticamente stabili già descritte in precedenza. Il sistema continuerà quindi a presentare, sull’uscita, un segnale periodico di frequenza amath 1/omega endamath. Essendo tutti gli altri contribuiti destinati ad esaurirsi nel tempo (per l’ipotesi di asintotica stabilità), possiamo affermare che, terminato il transitorio, l’andamento a regime del sistema sarà proprio di tipo sinusoidale.

Questo importante risultato permette di formulare immediatamente il teorema del regime permanente:

Un sistema dinamico lineare, tempo invariante ed asintoticamente stabile, soggetto ad un’eccitazione sinusoidale, presenta, a regime, un’uscita sinusoidale di frequenza uguale a quella del segnale d’ingresso.

Vogliamo ora definire una funzione complessa, di variabile reale, che contenga al suo interno informazioni relative a quanto il segnale di ingresso viene amplificato/attenuato e di quanto sfasato. Risulta quindi intuitiva la definizione della seguente funzione di risposta armonica:

amath F(omega) = {Y(omega)}/X e^{j (phi(omega) - phi} endamath

In cui:

• amath X endamath rappresenta il modulo del segnale in ingresso
• amath phi endamath rappresenta la fase del segnale di ingresso
• amath Y(omega) endamath e amath phi(omega) endamath rappresentano le funzioni sovra definite e dipendono, in generale, sia dalle caratteristiche del sistema che da quelle della forzante

Sviluppando i calcoli, si ottiene l’importante relazione tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica.

amath F(omega) = {Y(omega)}/X e^{j (phi(omega) - phi} =

= {X |G(j omega)|}/X e^ {j (phi + /_G(j omega) - phi} =

= |G(j omega)| e^{j /_G(j omega)} =

= G(j omega) endamath

L’importante conclusione è dunque la seguente:

Sussiste una relazione di equivalenza tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica. In particolare, si ha che amath F (omega) = G(j omega) endamath.

La seguente relazione è molto importante, poiché permette di analizzare le prestazioni di un sistema partendo da un’analisi sperimentale. Infatti la funzione di risposta armonica, per come è stata definita, si presta molto bene ad una determinazione sperimentale, come descritto di seguito.

Si supponga di avere un sistema (dinamico, lineare, stazionario, asintoticamente stabile) e di forzarlo con un segnale sinusoidale ad ampiezza e fase fissati e frequenza variabile. Terminato il transitorio, come detto, l’uscita avrà andamento sinusoidale con la stessa frequenza del segnale di ingresso. Misurando quindi ampiezza e fase dell’uscita, e registrandone i valori opportunamente modificati (l’ampiezza deve essere divisa per quella del segnale di ingresso ed alla fase deve essere sottratta quella del segnale d’ingresso), sarà possibile tracciare un diagramma approssimato sia del modulo che della fase della funzione di risposta armonica. Mediante tecniche di interpolazione, poi, sarà possibile determinarne l’espressione analitica e, attraverso diverse tecniche, anche l’espressione della corrispondente funzione di trasferimento.

Sia dato un sistema dinamico lineare tempo invariante, dotato di funzione di trasferimento G(s). Trascuriamo per ipotesi il caso di presenza di stato iniziale diverso da zero, riferendoci quindi sempre a situazioni del tipo

amath Y(s) = G(s) * U(s) endamath

Dove

• Y(s) rappresenta l’uscita
• G(s) rappresenza la funzione di trasferimento
• U(s) rappresenza l’ingresso

La trattazione farà inoltre riferimento a sistemi di tipo SISO (Single - Input, Single - Output), ma è naturale ed immediato estenderla a sistemi MIMO.

Altro requisito importante per lo studio di questa proprietà è l’asintotica stabilità esterna del sistema, che viene tradotta, normalmente, nella condizione che i poli della funzione di trasferimento siano tutti a parte reale negativa.

La proprietà bloccante degli zeri afferma che modi forzanti coincidenti con zeri della funzione di trasferimento non hanno effetti sull’andamento asintotico del sistema.

Per chiarire meglio, si supponga di avere un sistema caratterizzato da:

amath G(s) = {s^2+omega_i^2}/{s+2} endamath

e che si ponga al suo ingresso un segnale sinusoidale elementare, del tipo

amath u(t) = sin(omega_u t) => U(s) = {omega_u^2}/{s^2 + omega_u^2} endamath

Distinguiamo allora due casi:

• amath w_i != w_u endamath
• amath w_i = w_u endamath

Il secondo caso è di particolare interesse, poiché avviene una semplificazione tra il denominatore della forzante e il numeratore della funzione di trasferimento:

amath Y(s) = G(s)*U(s) = {s^2+omega^2}/{s+2} * {omega^2}/{s^2 + omega^2} = {omega^2}/{s+2} endamath

E’ facile calcolare quindi l’uscita nel dominio temporale:

amath y(t) = L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}[{omega^2}/{s+2}] = omega^2 e^(-2t) endamath

L’uscita, a regime, sarà quindi nulla. Come si vede, quindi, la presenza di una forzante su un sistema di per sé asintoticamente stabile non porta ad alcuna modifica dello stesso. La forzante non ha effetti a regime.

Ancora più interessante è il caso di analisi della proprietà bloccante degli zeri nel dominio delle frequenze. In questo caso, la coppia di zeri complessi coniugati genera una risposta in ampiezza con un picco di amath -oo d B endamath in corrispondenza della pulsazione amath omega endamath.

Bode

Questa proprietà ha un’interessante conseguenza: l’utilizzo, come forzante, di un’armonica a pulsazione amath omega endamath genera un’uscita a pulsazione nulla (attenuazione totale). Infatti, si ha che

amath|G(j omega)| = -oo d B => 20 log |G(j omega)| = -oo => |G(j omega)| = 0 endamath

Pertanto, rappresentando il modulo della funzione di trasferimento il fattore di amplificazione o attenuazione dell’uscita, abbiamo un’armonica nulla in corrispondenza di tale pulsazione.